Prob1000

题干

甲和乙玩数字游戏，两人分别将 1 ~ n 之间的数字以一定次序排成 a₁, ……, a_n 和 b₁, ……, b_n, 将数字逐个比较。 若a_i > b_i, 则甲得一分；若a_i < b_i, 则乙得一分；若a_i = b_i, 则不计分。
设P_n为数字范围为 1 ~ n 时甲乙得分相等的概率。
(1) 当 n = 5 时， 求P_n
(2) 求P_n通项公式
(3) 求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(n)$

花絮

这道题源自于苦逼的高三生活。埋在题海中，时常会有奇怪的灵感与想法，我就将它记了下来。虽然至今还是不会做来着。